目录

基于陀螺仪的惯性位姿测量v2

更新于 2021-01-27

基于陀螺仪的惯性位姿测量

[TOC]

(一) 总体要求

根据测量任务、技术指标和应用环境等要求,查阅资料,完成以下工作:

  1. 阐述国内外现状,包括测量方法和测量仪器,分析各自的优缺点;
  2. 提出或选择一种测量方法,设计测量仪器或系统方案(结构示意图),对传感器等主要功能部件进行详细说明;
  3. 阐述测量原理(原理图),推导数学模型;
  4. 分析测量仪器或系统的分辨力和测量误差,评定目标测量不确定度。
  5. 2~3人一组选做1个题目,方案可以相同也可以不同,设计内容必须独立完成。以PPT报告和纸质设计报告(论文)形式提交,并在讨论课上“答辩”(每人15分钟以内,汇报10分钟,讨论5分钟)。

(二)具体题目要求

舰船、飞机、导弹的航向角、俯仰角的位姿信息是通过陀螺仪测量的。陀螺仪是依据惯性原理工作的,与加速度计一起称为惯性器件,它们对于舰船、飞机、导弹的飞行路线、打击准确度具有决定性的意义。此处,需要分析陀螺仪工作原理,并说明位姿测量方法。

image-1
image-2

一、引言

舰船、飞机、导弹的航向角、俯仰角的位姿信息是通过陀螺仪测量的。陀螺仪是依据惯性原理工作的,与加速度计一起称为惯性器件,它们对于舰船、飞机、导弹的飞行路线、打击准确度具有决定性的意义。

陀螺仪从最开始的单纯的机械式陀螺仪发展到今天,已经更像是对角度传感器的统称。除了人们熟知的机械陀螺仪,还有如光纤陀螺仪,激光陀螺仪,微机电陀螺仪,量子陀螺仪等等。

其中,基于MEMS(Micro-Electro-Mechanical System)——即微机电技术的惯性传感器具有便于集成、重量轻、成本低、体积小等优点,在民用、航天及军事领域有着极其广阔的应用和发展前景。伴随着MEMS 技术的快速发展,MEMS 惯性传感器各项性能指标也得到了显著提升[1]。

二、国内外现状

MEMS 陀螺仪可以从振动结构、材料、加工方式、驱动方式、检测方式和工作模式等几个方面进行分类[2],如下图所示。

image-3

一般来讲,我们说的陀螺的精度,指的是陀螺的零偏稳定性,用来评价陀螺的输出围绕其均值上下的波动。如果陀螺没有输入,这个均值就是陀螺的零位。在计算陀螺的零偏稳定性的时候,通常采用的方法是采集一段数据,去除趋势项,再计算均方差,就得到了零偏稳定性,单位一般是 $°/h$ 。

(一)国外发展现状

国外对于MEMS 陀螺仪的研究最早始于二十世纪八十年代,美国、日本及欧洲各国均耗巨资进行了相关技术方面的开发和研究,研究水平走在世界前列。国外从事MEMS 陀螺仪方面研究的机构包括Draper 实验室、SAGEM 公司、意法半导体等[3]。

  1. 音叉陀螺:美国BEI公司的石英音叉陀螺技术研究方面已十分成熟,零偏稳定性优于 $3°/h$ ,全温范围零位漂移优于 $20°/h$ 。如下图所示。
image-4
  1. 轴对称陀螺
    1. MEMS 谐振环陀螺——VRG。日本硅传感系统公司SSS(Silicon Sensing Systems)一直从事MEMS 谐振环陀螺研制,最新产品零偏稳定性小于 $0.06°/h$ ,角度随机游走 $ARW<0.01°/h$,是目前MEMS谐振环陀螺的最高水平[4]
    2. MEMS 碟形陀螺——DRG。AMIR R 等设计制造了一种迄今为止报道的最小MEMS 陀螺仪——单晶硅体声波陀螺仪[5]。该陀螺具有强大的抗干扰性能和超过 $±6000°/s$ 的大动态范围,角度随机游走 $ARW<1°/h$,零偏稳定性为 $15°/h$ 。
    3. MEMS 半球谐振陀螺——HRG。2019年,美国密歇根大学根据诺格公司提出通过软件对科里奥利振动陀螺仪进行动态自校准的方法[6],研制的弧面驱动陀螺样机在陶瓷管壳封装后的品质因数达到了150 万,在常温下零偏不稳定性为 $0.0103°/h$,已接近导航级精度,是目前精度最高的微陀螺之一[7]。

(二)国内发展现状

我国MEMS 陀螺仪的研究起源于二十世纪八十年代,与国外研究时间大致相当。

  1. 音叉陀螺
    1. 中国航空工业集团公司西安飞行自动控制研究所提出了一种双质量块音叉式MEMS 陀螺[8]。经测试,该陀螺零偏稳定性优于 $0.66°/h$ ,刻度系数非线性优于100ppm,零偏加速度灵敏度优于 $12.3°/(h/g)$ ,能够满足绝大部分战术武器应用需求。
    2. 南京理工大学提出了一种具有低振动灵敏度和宽动态范围的MEMS 陀螺仪[9]。测量范围为 $±7200°/s$ ,零偏稳定性为 $12.2°/h$ 。
  2. 轴对称陀螺
    1. MEMS 谐振环陀螺——VRG。我国单位自主研制的MEMS谐振环陀螺通过飞行测试,发射过载8000g,历时10ms,抗过载能力优良,标志着我国MEMS 陀螺在抗高过载方面取得了突破性的进展。
    2. MEMS 碟形陀螺——DRG。国防科技大学设计并实现了一种热弹性质因子增强DRG[10],测试结果表明,f0=5766.5Hz,Q=157508,ARW=0.0009(°)/√h。
    3. MEMS 半球谐振陀螺——HRG。苏州大学WAN Q 等制作了多晶硅微半球谐振陀螺[11]。测试结果表明,在0.004Pa 的真空度下,陀螺的品质因数Q 为2200,初始频差为10Hz,零偏稳定性为80(°)/h。

(三)分析

我国虽然与国外研究MEMS陀螺仪时间一致,但其研制和开发相对比较落后。经过30 多年的不懈努力,我国在MEMS 陀螺仪的理论、工艺、外围配置电路、应用等方面都取得了突破性的进展,但在产品体积方面还有待进一步缩小,性能指标方面也有待进一步提高。此外,还缺少领先于国际水平的核心技术[12]。

三、一种MEMS陀螺仪工作原理

MEMS陀螺仪是基于科里奥利力,将角速度的测量转化为位移测量。

(—)科里奥利力

科里奥利力(英语:Coriolis Force;简称科氏力)是一种惯性力,是对旋转体系中进行直线运动的质点由于惯性相对于旋转体系产生的直线运动的偏移的一种描述。

如下图所示,我们将一质量块从A划至B,则当圆台没有旋转时候,我们可以精确的到达B点,但如果圆台以某一角速度 $\omega$ 进行旋转,则小球在A点时,就多了一个切向的速度。此时用相同的力让小球从A至B,由于A点和B点切向速度不同,小球将达到 B' 点。

image-5

我们以圆台为参考系,则小球等效于受一力的作用,使得偏离原来的轨迹。我们用科里奥利力来描述它。

圆台角速度与质量块切向位移的关系

我们以圆台为参考系,设球从A 到 B' 的时间为 $$ \Delta t ^ { \prime } = ( O A - O B ) / V^{ \prime } $$ 其中 O A B三点此时位于同一条直线上,$V^{ \prime }$ 为小球径向(平均)速度。

则在 $\Delta t ^ { \prime }$ 时间内,球偏离AB的距离 $$ \left. \begin{array}{l}{ BB ^ { \prime } = ( V _ { A } - V _ { B } ) \Delta t ^ { \prime } }{ = \omega ( OA - OB ) \Delta t ^ { \prime } }{ = \omega V ^ { \prime } {\Delta t ^ { \prime }}^2 }\end{array} \right. $$ 在 $\Delta t ^ { \prime }$ 很小的情况下,可以认为沿 $BB ^ { \prime } $ 的运动是匀加速运动而初速度为0,则有 $$ BB ^ { \prime } = \frac {1} {2} a^ { \prime } {\Delta t ^ { \prime }}^2 $$ 将上两式对比可得加速度与 $\omega$ 的关系 $$ a ^ { \prime } = 2 \omega V ^ { \prime } $$ 由此,我们可以通过测量 $BB ^ { \prime } $ 或者 $a ^ { \prime }$ 来计算得出圆台转速 $\omega$ 的大小

(二)使用科里奥利力测量圆台角速度

假如我们让一质量块置于周期振荡的电场中,使其作周期往复运动,在其正交平面内旋转物体,也会在与物体周期运动的垂直方向上产生科里奥利力。

image-6

当器件一上电,就让该质量块作周期运动,并且,该质量块的周期和位移均为已知。该周期和位移可以根据量程、准确度等需求进行设计。当其正交平面内物体发生旋转时,产生科里奥利力,我们根据其在科里奥利力方向上产生的位移可以计算出该方向上的加速度,从而计算出旋转体的角速度。

下图为ADI公司MEMS陀螺仪结构框图

image-7

其中,谐振器左右做周期运动,当平台旋转时,产生纵向的科里奥利力。我们通过电容等测量方法,测量谐振器纵向加速度或最大位移,即可得出平台旋转的角速度。

image-8
image-9

(三)问题

如上似乎是可以比较好的测量出了角速度,在陀螺仪中,我们通过积分即可得到物体的姿态。然而,我们使用单质量块MEMS陀螺仪还存在一些问题。

那就是我们如何区分振动和旋转?

单质量块陀螺仪不能区分旋转(待测量)和与内部谐振器相同频率的振动。在一些冲击事件中,其振动噪声的时域输出为冲激信号,对应的频谱成分无限丰富。

解决方案

差分。

我们可以使用多个质量块来进行差分,振动对于整体而言给每一个单元带来的影响都是一样的,而在内部,将多质量块中心对称分布在旋转体上,可以进行共模抑制,差模输出。

下图即为ADI公司双核陀螺仪设计,将振动作为共模信号输出。

image-10

除了双核陀螺仪之外,还有很多四核,八核,十核陀螺仪,更好的保证了测量准确性。

(四)MEMS 双核陀螺仪信号处理

如下图所示为陀螺仪部分结构:它由待测角速度的圆盘,两个测量单元组成。其中每个测量单元由振荡质量块,电容极板(根据电压值使质量块产生左右振荡的往复运动),六个电容传感器组成(两个固定电极板加上一个位置变化的极板)。

image-11

其中,为实现更好的共模抑制,左右两个测量单元轴对称分布,并且尽可能保证各个参数一致。

根据上述原理推导可知,在圆盘不产生转动情况下,质量块根据我们设计的振荡周期 $T$ 和振荡位移 $x$ 进行水平方向的往复运动。

我们以左质量块为例,当圆盘发生转动时,质量块由于惯性等效于受一科里奥利力。根据上述对科里奥利力原理的推导可知质量块单程纵向位移与圆盘转速的关系为: $$ BB ^ { \prime } = \omega \frac {2x}{T} (\frac{T}{4})^2 = \frac {\omega x T} {8} $$ 根据机械关系我们可知,质量块单程最大位移线性对应电容可变极板的最大位移。为方便计算,此处我们取正比例关系。即 $BB ^ { \prime }$ 即为电容极板的最大位移。

1. 电容传感器

电容传感器处,我们分析如下电容值与中央动极板的位移关系

image-12

假设初始位置时,各自距离如图中标注所示,此时两极板位移相等,均为 $\delta _ { 0 } $ ,同时,两极板电容相等。动极板运动后,向上运动 $\Delta \delta$ 的位移

因为已知电容极板间的距离与电容值的关系如下: $$ C = f ( \delta ) = \frac { \varepsilon A } { \delta } $$ 其中,$\varepsilon$ 为介电常数,$A$ 为电容极板的面积, $\delta$ 为两极板间的距离。

由此,我们可知容抗变化量为 $$ \frac {\Delta X c1} {X c1} = -\frac { 1 } { \omega } \frac { \Delta\delta } { \varepsilon A } $$

$$ \frac {\Delta X c2} {X c2} = \frac { 1 } { \omega } \frac { \Delta\delta } { \varepsilon A } $$

2. 转换电路

为将电容变化量转化为电压信号,设计如下转换电路[13]:

image-13

在此电路中,$C_1 C_2 R_1 R_2$ 构成电桥,其驱动源为正弦信号发生器。当动极板发生变化,差动放大器捕捉到电容量的变化,经模拟放大输出得到高频调制信号,再经线性检波输出电压值。

(1)交流电桥电路

令 $Z_1 = c_1, Z_2=C_2, Z_3=R_1, Z_4=R_2$,根据电路知识有

$$ U = U _ { A B } - U _ { A D } = \frac { Z _ { 1 } } { Z _ { 1 } + Z _ { 2 } } E - \frac { Z _ { 3 } } { Z _ { 3 } + Z _ { 4 } } E = \frac { Z _ { 1 } Z _ { 4 } - Z _ { 2 } Z _ { 3 } } { ( Z _ { 1 } + Z _ { 2 } ) ( Z _ { 3 } + Z _ { 4 } ) } E $$

为方便计算,假设初始条件 $Z _ { 1 } Z _ { 4 } = Z _ { 2 } Z _ { 3 }$ ,则此时电桥的输出为0。

根据上述对于电容容抗变化的讨论,有 $$ U ^ { \prime } = -\frac { 1 } { \omega } \frac { \Delta\delta } { \varepsilon A } \frac {E}{2} $$ 由此,我们在输入已知交变电流的情况下,经过信号放大器便可得到包含电容极板变化的信号幅值。

(2)正弦信号发生器

交变电桥需要信号发生器如下

image-14

上述电路中,运算放大器 $U_1$ 输出正弦信号 $Asin(\omega t)$ ,再经过 $U_2$ 可以输出余弦信号 $Acos(\omega t)$ ,根据电路参数有 $$ \omega = k _ { 4 } / ( R _ { 1 } R _ { 4 } C _ { 1 } C _ { 2 } ) ^ { 0.5 } $$ 通过调节 $R_4$ 可以调节输出频率, 在实际运用中应根据电路中电容电阻值以及待测物体角频率的可能值确定输出频率,此处我们选择输出频率为 2 kHz 以上。

(3)差动放大电路

由于电容电桥的输出电阻比较大, 存在着阻抗不平衡的问题,故我们采用有高共模抑制比的放大电路——仪用放大电路

image-15

根据运算放大器的基本知识,我们可以知道该仪用放大电路的差模增益为 $$ G _ { D } = \frac { R _ { 4 } } { R _ { 3 } } ( 1 + \frac { 2 R _ { 2 } } { R _ { G } } ) $$ 我们可以通过调节 $ R _ { G }$ 的大小来调节电路增益。

(4) 线性检波

选用如下精密型线性检波电路

image-16

其中 $$ R _ { 1 } = R _ { 2 } = R _ { 3 } = R _ { 4 } / 2 = 10 k \Omega $$

$$ R_5 = \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } R _ { 4 } \approx 1.11 R _ { 4 } $$

则有 $$ V _ { \text {in(RMS} ) } = V _ { \text {out} ( D C ) } $$

(5)单核单电容传感器输出

综上所述,我们可以单个测量单元的电压输出值与圆盘角速度的关系如下: $$ V_{out} = -G_{D1} \frac { 1 } { k _ { 4 } / ( R _ { 1 } R _ { 4 } C _ { 1 } C _ { 2 } ) ^ { 0.5 } } \frac {\omega x T } { \varepsilon A } \frac {A}{16} $$ 其中,$k_4$ 是一个与正弦信号发生器有关的比例系数

(6)双核差分输入处理

在先考虑每一个测量单元仅仅有一个电容传感器来测量距离时,为了消除振动或加工误差带来的共模输入,将两部分测量单元经仪用放大器放大差模信号后输出。

电路与上述差分放大电路一致

image-17
(7)结论

最终,我们即可如下计算出圆台的角速度 $$ V_{out} = -G_{D1}G_{D2} \frac { 1 } { k _ { 4 } / ( R _ { 1 } R _ { 4 } C _ { 1 } C _ { 2 } ) ^ { 0.5 } } \frac {\omega x T } { \varepsilon A } \frac {A}{8} $$ 为方便描述,不妨假设 $$ V_{out} = k \omega $$ 其中,$k$ 由上述系统所决定的参数。

四、基于MEMS/GPS组合位姿测量系统

基于MEMS的惯性导航系统虽然不依赖外部信息,有较好的隐蔽性,并且短期精度和稳定性好,但是由于惯导系统姿态由解算积分产生,因此它的误差随时间的延长而累计,导致长期稳定性和精度较差。

考虑到GPS测姿精度高且误差有界,具有长期稳定性,但其动态性能差。

为综合MEMS惯性器件的位姿测量和GPS全球导航系统的各自优势,提出以下惯性导航系统和GPS复合测位姿以弥补和校准彼此的不足又可发挥各自优势[15] [16]。

graph LR
A[MEMS陀螺仪] --> B[卡尔曼滤波]
C[MEMS加速度计] --> B
B --> G[姿态]

D[GPS] --> E[卡尔曼滤波]
C --> E
E --> F[位置]

(一)姿态测量

首先建立系统的状态方程和测量方程,由于倾角和倾角角速度的关系,系统倾斜的真实角度 $\phi$ 可以用来做一个状态向量。在该系统中,采用加速度计估计出陀螺仪常值偏差 $b$ ,以此偏差和上一状态的最佳估计作为状态向量,得到相应的单位时间内的状态方程和观测方程。 $$ \left{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} \dot{\varphi} \
\dot{b} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \
0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \varphi \
b \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 1 \
0 \end{array}\right] \omega_{\mathrm{gyro}}+\left[\begin{array}{c} w_{g} \
0 \end{array}\right]} \
\varphi_{a c c e}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \varphi \
b \end{array}\right]+w_{a} \end{array}\right. $$ 式中, $\omega_{\operatorname { gyro }}$ 为包含固定偏差的陀螺仪输出加速度, $\varphi _ { a c c e } $ 为加速度计经处理后得到的角度值, $\omega_g$ 为陀螺仪测量噪声, $\omega_a$ 为加速度计测量噪声, $b$ 为陀螺仪漂移误差, $\omega_g$ 与 $\omega_a$ 相互独立,此处假设二者为满足正态分布的白色噪声。

令 $T_s$ 为系统采样周期,得到离散系统的状态方程和测量方程:(偏差 $ b $ 以 $ rad/s $ 为单位) $$ \left{\begin{array}{l} X(k)=\left[\begin{array}{ll} 1 & -T_{s} \
0 & 1 \end{array}\right] X(k-1)+\left[\begin{array}{l} T_{s} \
0 \end{array}\right] \omega_{g y r o}(k-1)+\left[\begin{array}{l} w_{g}(k) T_{s} \
0 \end{array}\right] \
V_{i}(k)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right] X(k)+\omega_{\mathrm{a}}(k) \end{array}\right. $$ 同时,要估算 $k$ 时刻的实际角度,就必须根据 $k-1$ 时刻的角度值,再根据预测得到的 $k$ 时刻的角度值得到 $k$ 时刻的高斯噪声分布的方差,在此基础之上卡尔曼滤波器进行递归运算直至估算出最优的角度值。在此,需知道系统过程噪声协方差阵 $Q$ 以及测量误差的协方差矩阵 $R$ ,对卡尔曼滤波器进行矫正。 $Q$ 和 $R$ 矩阵的形式如下: $$ Q=\left[\begin{array}{ll} q_{-} \text {acce } & 0 \
0 & q_{-} \text {gyro } \end{array}\right] \quad R=\left[r_{-} \text {acce }\right] $$ 式中, $ q_{acce} $ 和 $ q_{gyro} $ 分别是加速度计和陀螺仪测量的协方差,其数值代表卡尔曼滤波器对其传感器数据的信任程序,值越小,表明信任程度越高。

在该系统中陀螺仪的值更为接近准确值,因此取 $ q_{gyro} $ 的值小于 $ q_{acce} $ 的值。

当前状态: $$ X(k | k-1)=A X(k-1 | k-1)+B U(k) $$ 式中, $A=\left[\begin{array}{ll} 1 & -T_{s} \
0 & 1 \end{array}\right]$ , $ B=\left[\begin{array}{l} T_{s} \
0 \end{array}\right] $ , $ X(k|k-1) $ 是利用 $ k-1 $ 时刻预测的结果, $ X(k-1|k-1) $ 是 $ k-1 $ 时刻的最优结果。

则有对应于 $ X(k|k-1) $ 的协方差为: $$ P ( k | k - 1 ) = A P ( k - 1 | k - 1 ) A ^ { T } + Q $$ 式中, $ P ( k | k - 1 ) $ 是 $ X(k-1|k-1) $ 对应的协方差, $ A ^ { T } $ 表示 $ A $ 的转置矩阵, $ Q $ 是系统过程的协方差。上述两式即是对系统状态的更新。

则状态 $ k $ 的最优化估算值 $ X(k|k) $ : $$ X ( k | k ) = X ( k | k - 1 ) + K ( k ) ( Z ( k ) - H X ( k | k - 1 ) ) $$ 其中 $H=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]$ , $ K $ 为卡尔曼增益(Kalman Gain): $$ K ( k ) = P ( k | k - 1 ) H ^ { T } / ( H P ( k | k - 1 ) H ^ { T } + R ) $$ 此时,我们已经得到了 $ k $ 状态下最优的估算值 $ X(k|k) $ 。但是为了使卡尔曼滤波器不断的运行下去直到找到最优的角度值,我们还要更新 $ k $ 状态下 $ X(k|k) $ 的协方差: $$ P ( k | k ) = ( I - K g ( k ) H ) P ( k | k - 1 ) $$ 其中, $ I $ 为单位阵,对于本系统则有 $ I= \left[ \begin{array} {l } {1}\{1} \end{array} \right] $ ,当系统进入 $ k+1 $ 状态时, $ P(k|k) $ 就是式(5)的 $ P(k-1|k-1) $ 。(6)(7)(8)式为卡尔曼滤波器状态更新方程。计算完时间更新方程和测量更新方程后,再次重复上一次计算得到的后验估计,作为下一次计算地先验估计,这样,周而复始,循环反复地运算下去直至找到最优的结果。

下图所示为加了卡尔曼滤波与没有滤波时的波形比较,明显可以看出滤波后波型更加圆滑。

image-18
image-19

(二)位置测量

1. GPS定位原理

GPS接收机是利用GPS广播的星历信息来求取信号的传播时间进而求解出载体的位置及速度信息。但GPS信号在发射、传送以及接收等环节会收到各种各样的干扰,例如多路径传输、测量时的不同步及各种噪声干扰。

(1)伪距观测方程

$$ \rho _ { r } ^ { s } = R _ { r } ^ { s } + c \delta t _ { r } - c \delta t ^ { s } + T r o p _ { r } ^ { s } + T o n o _ { r } ^ { s } + \epsilon _ { r } ^ { s } $$

其中,上角标 $ s $ 表示的是广播卫星,下角标 $ r $ 表示的是GPS接收机。为了简化计算,上式将星历误差,多路径效应以及天线相位中心变化等因素的干扰进行了省略。

​ $ \rho _ { r } ^ { s } $ 为 GPS 信号传输到用户 GPS 接收机的实际路程。

​ $ R _ { r } ^ { s } $ 为 GPS 接收机与广播卫星两点相连的直线距离。

​ $ c $ 为电磁波的传播速度。

​ $ \delta t _ { r } $ 为 GPS 接收机的钟差。

​ $ \delta t ^ { s } $ 为广播卫星的钟差。

​ $ T r o p _ { r } ^ { s } $ 为 GPS 信号在经过大气对流层时导致的延迟误差。

​ $ T o n o _ { r } ^ { s } $ 为 GPS 信号在经过大气电离层时导致的延迟误差。

​ $ \epsilon _ { r } ^ { s } $ 为 GPS 接收机的测量噪声。

设在ECEF系下,广播卫星的位置坐标为 $ X ^ { s } = ( x ^ { s } , y ^ { s } , z ^ { s } ) $ ,GPS 接收机的位置坐标为 $ X _ { r } = ( x , y, z ) $ 。可得广播卫星和 GPS 接收机两点相连的直线距离为: $$ R _ { r } ^ { s } = \sqrt { ( x ^ { s } - x ) ^ { 2 } + ( y ^ { s } - y ) ^ { 2 } + ( z ^ { s } - z ) ^ { 2 } } = | X ^ { s } - X _ { r } | = | X _ { r } ^ { s } | $$ 将 GPS 接收机的钟差与 GPS 信号传播的速度相乘便能够得到等效的距离误差,可以写成如下公式: $$ T _ { B } = c \delta t _ { r } $$ 对流层和电离层延迟误差可以由延时模型进行补偿,广播卫星的钟差可以由导航电文中的时钟修正参数进行补偿。因此它们产生的等效距离误差很小,下面将它们三个合记为: $$ \Delta _ { r } ^ { s } = - c \delta t ^ { s } + T r o p _ { r } ^ { s } + I o n o _ { r } ^ { s } $$ 因此可将伪距观测方程化简为如下: $$ \rho _ { r } ^ { s } = R _ { r } ^ { s } + T _ { B } + \Delta _ { r } ^ { s } + E _ { r } ^ { s } $$

(2)伪距观测方程线性化

对伪距求偏导: $$ \left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial \rho_{r}^{s}}{\partial x} & \frac{\partial \rho_{r}^{s}}{\partial y} & \frac{\partial \rho_{r}^{s}}{\partial z} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -e_{x}^{s} & -e_{y}^{s} & -e_{z}^{s} \end{array}\right]=-e_{r}^{s} $$ 其中, $ e _ { r } ^ { s } $ 为广播卫星与 GPS 接收机所形成的方向余弦向量。

围绕GPS接收机的大致位置与大致钟差求取一阶泰勒展开可得: $$ \rho _ { r } ^ { s } - \rho _ { r _ { 0 } } ^ { s } = - e _ { r _ { 0 } } ^ { s } \delta X _ { r } + \delta T _ { B } + \varepsilon _ { r } ^ { s } $$ 其中 $$ \begin{array}{c} \delta X_{r}=\left[\begin{array}{ccc} \delta x & \delta y & \delta z \end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \end{array}\right]^{T} \
\delta T_{B}=T_{B}-T_{B_{0}}=c \delta t_{r}-c \delta t_{r_{0}} \
\rho_{r_{0}}^{s}=R_{r_{0}}^{s}+T_{B_{0}}+\Delta_{r_{0}}^{s} \end{array} $$ 当卫星信号良好,可见星数目达到4颗及以上时,若某时刻观测到的可见星数目为 $ n $ 颗,那么可得到 $ n $ 个线性化伪距观测方程如下: $$ \left[\begin{array}{c} \rho_{r}^{1}-\rho_{r_{0}}^{1} \
\rho_{r}^{2}-\rho_{r_{0}}^{2} \
\vdots \
\rho_{r}^{n}-\rho_{r_{0}}^{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} -e_{x_{0}}^{1} & -e_{y_{0}}^{1} & -e_{z_{0}}^{1} & 1 \
-e_{x_{0}}^{2} & -e_{y_{0}}^{2} & -e_{z_{0}}^{2} & 1 \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \
-e_{x_{0}}^{n} & -e_{y_{0}}^{n} & -e_{z_{0}}^{n} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \delta x \
\delta y \
\delta z \
\delta T_{B} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \varepsilon_{r}^{1} \
\varepsilon_{r}^{2} \
\vdots \
\varepsilon_{r}^{n} \end{array}\right] $$

2. GPS与加速度计经卡尔曼滤波融合

建立系统的状态方程和测量方程,由于速度和加速度的关系,系统速度 $ v $ 可以用来做一个状态向量。在该系统中,采用GPS输出估计出系统速度 $ v $ ,得到相应的单位时间内的状态方程和观测方程。 $$ \begin{equation}\left{ \begin{array}{lr} { \dot { v }} = v + a + \omega_g \ x = \dot { v } + \frac {1} {2} a \end{array}\right.\end{equation} $$ 注意,上式中 $ v $ 、 $ x $ 、 $ a $ 均为空间三维向量,从而求得空间坐标。

对上述方程进行离散化处理后,仿照姿态测量的卡尔曼滤波的方法,即可求得物体位置的最佳估计。

五、误差分析

(一)惯性系统误差分析

一般地,我们在对惯性系统进行导航测姿研究时,把它视为理想化系统,但是,惯性元器件在生产制作,安装,调试过程中都存在一定的误差。惯性系统姿态测量误差主要有以下五类:

1. 惯性器件误差

该误差分为确定性误差和不确定性误差。

(1)确定性误差

主要是陀螺仪和加速度计的零偏误差和标度因子的不稳定造成的误差,这种误差可利用转台对准标定来消除。

(2)不确定性误差

也称随机误差,主要是通过建立随机误差模型通过滤波等手段来减少误差的影响。惯性器件随着使用的时间的增长,误差逐渐累积,它的短期性能优良。

2. 初始条件误差

惯性器件导航测姿系统中,为了精确导航参数,必须对载体所处的位置,速度进行初始化并对姿态进行初始对准,这些都是人工测量后输入,所以存在一定的人为误差,但是由于滤波估计会不断对其修正,因此这部分误差可忽略不计。

3. 数学建模的不确定性引起的误差

由于载体在运动过程中受到的各种因素的影响几乎都有很大的随机性,导致数学建模建立不准确,直接对测姿造成一定的误差,不过,相较于惯性器件引起的误差,此误差项在计算中可省略不计。

4. 载体运动干扰误差

载体在运动过程中晃动或剧烈运动时对惯性器件造成干扰。

5. 计算误差

系统的姿态解算任务全部由计算机完成,不可避免造成截断和四舍五入误差。其次,还有量化误差和参数设置等的误差。

(二)GPS系统误差分析

全球定位系统 GPS 主要由空间星座,地面监控和用户设备这三部分组成,彼此间相互独立。

利用GPS导航定位测位姿有以下三个方面的误差

1. 卫星相关

主要是卫星星历误差和卫星时钟误差,它是由地面监控无法对卫星运行轨道和时钟漂移准确测量引起的。这部分误差可利用差分技术消除,特别是双差分技术能够有效地消除这部分误差。

2. 接收机相关

主要是接收过程中的通道延迟,多路径误差、电磁干扰误差、接收机噪声误差和接收机钟差等。这部分误差是量测误差,是无法消除的。

3. 信号传播过程相关

主要包括电离层误差和对流层误差,主要是由信号在传播过程中受到大气层的影响,这部分误差利用差分技术可以消除大部分。

六、系统的不足

  1. 在位姿测量方面,除了陀螺仪和加速度计外,还应当结合MEMS磁力计以确保测量准确性。

  2. GPS系统不但能测量位置,也能测量姿态,应当根据载体的大小和运动形式来选择是否使用。

  3. 对于室内的姿态定位,可以利用 iGPS 来进行空间定位。

  4. 卡尔曼滤波:上述的的卡尔曼滤波的方法,是标准形式的卡尔曼滤波。简单来说,就是将MEMS器件理想化为线性系统,忽略了器件的非线性误差。在应用中, 应当在采样点处进行泰勒展开,取其线性部分进行滤波,此即扩展卡尔曼滤波。当然,根据不同的系统,还可以考虑无际卡尔曼滤波。

  5. 在本文中采用的惯性系统的测量和GPS的测量采用的是松组合的方式。即把惯性系统的输出作为状态方程,GPS的输出作为测量方程,然后利用卡尔曼滤波进行数据融合。如下图所示。

    image-20

    然而根据不同的系统和测量目的,应当合理选取不同的状态量和测量量,从而实现惯性系统和GPS的紧组合或超紧组合。

七、参考文献

[1]王治平.陀螺仪的过去、现在和未来[J].数字通信世界,2019(08):271+184.

[2] 毛奔, 张晓宇. 微惯性系统及应用[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工程大学出版社, 2013.

[3] 孙常善. 高精度MEMS 角速率测量系统的设计与实现[D]. 哈尔滨:哈尔滨工程大学, 2017.SUN Changshan. Design and implementation of high-precision MEMS angular rate measurement system[D].Harbin:Harbin Engineering University, 2017.

[4] 翟羽婧, 杨开勇, 潘瑶, 等. 陀螺仪的历史、现状与展望[J].飞航导弹, 2018(12): 84–88.

[5] AMIR R, DIEGO E, SERRANO, DUANE Y, et al. A 0.5 mm2 7-mhz capacitive bulk acoustic wave gyroscope in (100) silicon with large dynamic range[C]. Proceedings of the 30th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS), 2017: 25–28.

[6] 徐志强, 刘建梅, 王振, 等. 石英半球谐振子精密加工技术探讨[J]. 导航与控制, 2019, 18(2): 69–76.XU Zhiqiang, LIU Jianmei, WANG Zhen, et al. Discussion on precision machining technology of quartz hemispherical harmonic oscillator[J]. Navigation and Control, 2019, 18(2): 69–76.

[7] Cho J Y, Woo J K, He G, et al. 1.5-million Q-factor vacuum-packaged birdbath resonator gyroscope(BRG)[C].Proceedings of the IEEE International Conference on Micro Elector Mechanical Systems, 2019.

[8] 付强, 陈伟平, 闫菁敏, 等. 双片集成数字硅陀螺接口ASIC的设计与测试[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2017, 49(10): 90–94.FU Qiang, CHEN Weiping, YAN Jingmin, et al. Design and test of the interface of the dual-chip integrated digital silicon gyroscope ASIC[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2017, 49(10): 90–94.

[9] 王玉朝, 王永, 孟冰, 等. 高精度音叉式硅微陀螺研制进展[A]. 中国航空学会. 2019 年(第四届)中国航空科学技术大会论文集[C]. 中国航空学会: 中国航空学会, 2019: 7.

[10] 王亚林, 杨拥军, 任臣. MEMS 陀螺仪驱动接口ASIC 设计[J]. 微电子学, 2019, 49(4): 529–533.WANG Yalin, YANG Yongjun, REN Chen. Design of an interface ASIC for MEMS gyroscope driving closed-loop[J].Microelectronics, 2019, 49(4): 529–533.

[11] 施芹, 赵阳, 夏国明, 等. 一种具有低振动灵敏度和宽动态范围的MEMS 陀螺仪(英文)[J]. 中国惯性技术学报,2019, 27(1): 89–94.SHI Qin, ZHAO Yang, XIA Guoming, et al. A wide range dynamic range MEMS gyro with low vibration sensitivity(English)[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2019, 27(1): 89–94.

[12]李晓阳,王伟魁,汪守利,彭泳卿,金小锋.MEMS惯性传感器研究现状与发展趋势[J].遥测遥控,2019,40(06):1-13+21.

[13]张斌斌,丛培田.电容式位移传感器转换电路的设计[J].仪表技术与传感器,2002(11):30-31.

[14]冯智勇,曾瀚,张力,赵亦欣,黄伟.基于陀螺仪及加速度计信号融合的姿态角度测量[J].西南师范大学学报(自然科学版),2011,36(04):137-141.

[15]张瑞雪. 基于GPS/MEMS惯性组件复合测姿方法研究[D].中北大学,2019.

[16]王晴晴. 基于MEMS/GPS组合的复杂环境下单兵导航技术研究[D].哈尔滨工程大学,2019.